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難しくても、こんな感じの計算です。全部加減乗除ですから、大したことはないのです。
【問い】
容器Aには濃度aの食塩水がA、容器Bには濃度bの食塩水がB入っている。
今、容器Aから容器BへC移し、よく混ぜ、次に、容器Bから容器AへC移す。
この操作をｎ回繰り返した後の容器A、容器Bの食塩水の食塩量と濃度を求めよ。
【解】
この操作をｎ回繰り返した後の容器A、容器Bの食塩水の食塩量をa[n],b[n]とする。
a[n]+b[n]=Aa+Bb・・・①
a[n]={(A-C)/A}a[n-1]+{C/(B+C)}{(C/A)a[n-1]+b[n-1]}・・・②
②に①のb[n-1]=Aa+Bb -a[n-1]を代入して、
a[n]
={(A-C)/A}a[n-1]+{C/(B+C)}{(C/A)a[n-1]+ Aa+Bb -a[n-1]}
=[{(A-C)/A}+{C/(B+C)}{(C/A)-1}]a[n-1]+{C/(B+C)}(Aa+Bb)
=[{(A-C)/A}+{C/(B+C)}{(C-A)/A}]a[n-1]+{C/(B+C)}(Aa+Bb)
={(A-C)/A}[1-{C/(B+C)}]a[n-1]+{C/(B+C)}(Aa+Bb)
={(A-C)/A}{B/(B+C)}a[n-1]+{C/(B+C)}(Aa+Bb)
よって、
a[n]={B(A-C)}/{A(B+C)}a[n-1]+{C/(B+C)}(Aa+Bb)・・・③
さて、
a[n]-α={B(A-C)}/{A(B+C)}(a[n-1]-α)・・・④
とおく。
③と④の係数を比較して、
[1- {B(A-C)/A(B+C)}]α={C/(B+C)}(Aa+Bb)
[{A(B+C)-B(A-C)}/A(B+C)]α={C/(B+C)}(Aa+Bb)
[C(A+B)/A(B+C)]α={C/(B+C)}(Aa+Bb)
{(A+B)/A}α=(Aa+Bb)
α=A(Aa+Bb)/(A+B)・・・⑤
⑤を④に代入して、
a[n]- A(Aa+Bb)/(A+B)
=[B(A-C)/A(B+C)][a[n-1]- A(Aa+Bb)/(A+B)]
=[B(A-C)/A(B+C)]^n [a[0]-A(Aa+Bb)/(A+B)]
=[B(A-C)/A(B+C)]^n [Aa-A(Aa+Bb)/(A+B)]
=[B(A-C)/A(B+C)]^n [{A(A+B)a-A(Aa+Bb)}/(A+B)]
=[B(A-C)/A(B+C)]^n [AB(a-b)/(A+B)]
まとめて、
a[n]=A(Aa+Bb)/(A+B)+[AB(a-b)/(A+B)][B(A-C)/A(B+C)]^n
b[n]=B(Aa+Bb)/(A+B)-[AB(a-b)/(A+B)][B(A-C)/A(B+C)]^n（①より）
容器A,Bの食塩水の濃度をA[n],B[n]とすると、
A[n]=(1/A)a[n]=(Aa+Bb)/(A+B)+[B(a-b)/(A+B)][B(A-C)/A(B+C)]^n
B[n]=(1/B)b[n]=(Aa+Bb)/(A+B)-[A(a-b)/(A+B)][B(A-C)/A(B+C)]^n
