私の趣味の一つに、ヤフー知恵袋で、食塩水の問題に答えることがある。
【問】
容器A,Bにはそれぞれ3%の食塩水100g,9%の食塩水300gが入っている。A,Bから同時に食塩水をくみ出して交換し、それぞれよく混ぜたところ、AとBの濃度は等しくなった。また、A、Bからくみ出した食塩水の量の比は1:2であったという。等しくなった時の濃度と、Bからくみ出した食塩水の量は、それぞれどれだけか。
という問題で、どのように答えを出すか計算の過程が知りたいです！
細かく教えていただけたら嬉しいです！
よろしくお願いします( ¨ )
【解】
「計算の過程」とありますが、「考え方」もいろいろあります。
式の短い順に書きます。
【一番短い回答は、２０秒かな】
容器A,Bから、それぞれCg,2Cgをくみ出したとする。
「AとBの濃度は等しくなった」ということは、
それぞれの容器内の
「3%と9%の食塩水の重さの比が等しい」ということで、
(100-C):2C=C:(300-2C)
そして、その比は、100g:300g=1:3に等しいから、
(100-C):2C=C:(300-2C)=100g:300g=1:3
(100-C):2C=1:3で計算すると、
2C=3(100-C)
2C=300-3C
5C=300
C=60
2C=120
120g
※６行の式で終わった。
濃度は、
3%と9%を40g,120gずつ、1:3で混ぜるから、
(3×1+9×3)/(1+3)=30/4=7.5(%)
平均の考え方です。
【二次方程式でも解けますが、４０秒ぐらいかかるかな】
2C^2=(100-C)(300-2C)
2C^2=30000-500C+2C^2
500C=30000
C=60
2C=120
120g
※これも６行だけど、文字数は、２倍かな。
【一次方程式だと、３分はかかるかな】
等しくなった濃度は、
(食塩の重さの合計)/(食塩水の重さの合計)
=(100g×3%+300g×9%)/(100g+300g)
=30g/400g
=7.5/100
=7.5%
で、7.5%だから、
容器Aでは、「3%の食塩水(100-C)gと、9%の食塩水2Cg」とで、「7.5%の食塩水が(100+C)g」できている。
「」内の食塩の重さは等しいから、
(100-C)g×3%+2Cg×9%=(100+C)g×7.5%
あとは計算。
(100-C)×3+2C×9=(100+C)×7.5
(100-C)×6+2C×18=(100+C)×15
(100-C)×2+2C×6=(100+C)×5
200-2C+12C=500+5C
5C=300
C=60
2C=120
※容器Bでは、3%の食塩水Cgと、9%の食塩水(300-2C)gとで、7.5%の食塩水が(300-C)gできている。
この事実から方程式を作っても同じ結果になる。
私は食塩水の問題を１０００題以上解いて解説してきました。
これ以外にも、考え方はありますが、複雑になります。
【7.5%を計算せずに、容器ごとの濃度を文字式で表して、等式を作るやり方】
{(100-C)g×3%+2Cg×9%}/(100-C+2C)g={Cg×3%+(300-2C)g×9%}/(C+300-2C)g
(300-3C+18C)/(100+C)=(3C+2700-18C)/(300-C)
(100-C+6C)/(100+C)=(C+900-6C)/(300-C)
(100+5C)/(100+C)=(900-5C)/(300-C)
(20+C)/(100+C)=(180-C)/(300-C)
(20+C)(300-C)=(100+C)(180-C)
6000+280C=18000+80C
200C=12000
2C=120
この板では、上の式を書いてくる方も、お見えです。
おまけに、３％を教科書に忠実に3/100で表示するので、もうどうしようもありません。
{(100-C)g×(3/100)+2Cg×(9/100)}/(100-C+2C)g={Cg×(3/100)+(300-2C)g×(9/100)}/(C+300-2C)g
発想の差が、解く時間にも影響します。
ぜひ、(100-C):2C=1:3で解けるようになってください。
最後の式なんて、悪趣味の権化です。(笑)
